为什么方程是一种重要的数学思想和方法？

人们对方程的研究可以追溯到远古时期 ，大约3600多年前
，古埃及人写在纸草书上的数学问题中就涉及了含有未知数的等式。公元825年左右，中亚细亚的数学家阿尔—花拉子米曾写过一本《对消与还原》的书 ，重点讨论方程的解法，这本书对后来数学的发展产生了很大的影响 。

在很长时间内
，方程没有专门的表达形式，而是使用一般的语言文字来叙述
。17世纪时 ，法国数学家笛卡尔最早提出了用xy 、z这样的字母来表示未知数
，把这些字母和普通数字同样看待，用运算符号和等号把字母与数字连接起来 ，就形成含有未知数的等式。后来经过不断的简化和改进
，方程逐渐演变成现在的表达形式，例如6x+8=20 ，4x-2y=9
，x-4=0等 。

中国对方程的研究也有着悠久的历史。中国古代数学著作<九章算术》大约成书于公元前200~50年，其中有专门以“方程”命名的一章
。这一章中所说的方程实际上就是现在人们所说的一次方程组 ，方程组由几个方程共同组合而成
，它的解是这几个方程的公共解。“方程 ”一章中以一些实际应用问题为例，并给出了用方程组的解题方法 。 >

中国古代数学家表示方程时 ，只用算筹表示各个未知数的系数，而没有使用专门的记法来表示未知数
。按照这样的表示法
，方程组被排列成长方形的数字方阵，这与现代数学中的矩阵非常接近。我国古代数学家刘徽注释“方程
”的含义时 ，曾指出“方”字与上述数字方阵有密切的关系
，而“程 ”字则指列出含未知数的等式，所以汉语中“方程”.一词最早来源于列一组含未知数的等式解决实际问题的方法 。宋元时期 ，中国数学家创立了“天元术
”
，用“天元表示未知数而建立方程，这种方法的代表作是数学家李治写的《测圆海镜》 ，书中所说的“立天元一”相当于现在的“设未知数x ”
。

随着数学研究范围的不断扩充
，方程被普遍使用，它的作用越来越大 ，方程的类型也由简单到复杂不断地发展。但是无论类型如何变化
，形形式式的方程都是含有未知数的等式，都表达涉及未知数的等量关系;解方程的基本思想都是依据等量关系使未知数逐步化为用已知数表达的形式 ，这正是方程的本质所在 。

中学数学重要数学思想 函数方程思想 函数方程思想就是用函数
、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式
，是很重要的数学思想
。 1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系 ，最后解决问题
，这就是函数思想； 2.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤 ，大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式
，把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中 ，往往需要根据一些要求
，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组） ，通过解方程（或方程组）求出它们
，这就是方程思想； 3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透 ，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援
，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。 数形结合思想 数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一 ，对于所研究的代数问题
，有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形） ，这种解决问题的方法称之为数形结合 。 1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性
，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成 ，扬长避短
。 2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学
”。这就是说：数形结合是数学的本质特征
，宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一 。因此，数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。 3.数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系 ，数量关系决定了几何图形的性质
。 4.华罗庚先生曾指出：“数缺性时少直观
，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系. 5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中 ，历年高考的解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题） 。而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现
。 6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领： (1) 对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可； (2) 对于研究函数 、方程或不等式（最值）的问题
，可通过函数的图象求解（函数的零点，顶点是关键点） ，作好知识的迁移与综合运用； (3) 对于以下类型的问题需要注意：可分别通过构造距离函数、斜率函数
、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解题目的。 分类讨论的数学思想 分类讨论是一种重要的数学思想方法
，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类 ，然后对每一类分别研究
，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答 。 1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决 ，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： （1）涉及的数学概念是分类讨论的； （2）运用的数学定理 、公式
、或运算性质、法则是分类给出的； （3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性； （4）数学问题中含有参变量
，这些参变量的不同取值导致不同的结果的； （5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的
。 2.分类讨论是一种逻辑方法 ，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法
，但分类必须从同一标准出发，做到不重复 ，不遗漏 ，包含各种情况
，同时要有利于问题研究 。 化归与转化思想 所谓化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化 ，进而达到解决的一种方法
。一般总是将复杂的问题通过变化转化为简单的问题
，将难解问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题。 立体几何中常用的转化手段有 1.通过辅助平面转化为平面问题 ，把已知元素和未知元素聚集在一个平面内
，实现点线 、线线
、线面、面面位置关系的转化； 2.平移和射影，通过平移或射影达到将立体几何问题转化为平面问题 ，化未知为已知的目的； 3.等积与割补； 4.类比和联想； 5.曲与直的转化； 6.体积比
，面积比，长度比的转化； 7.解析几何本身的创建过程就是“数 ”与“形
”之间互相转化的过程 。解析几何把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来 ，把代数与几何融合为一体
。